Question

17．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

手机编号	1	2	3	4	5	6	7
A型待机时间（h）	120	125	122	124	124	123	123
B型待机时间（h）	118	123	127	120	124	a	b

其中，a，b是正整数，且a＜b
（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；
（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；
（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时⇒估计56台A型手机中有$56×\frac{5}{7}=40$台手机的待机时间不少于123小时．
（II）由表格可知，A型号被测试的7台手机中待机时间大于123小时的台数为有3台，利用超几何分布概率计算法则，求解概率．
（Ⅲ）由A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，列方程，求出a，b．

解答 解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有$56×\frac{5}{7}=40$台手机的待机时间不少于123小时．
（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{1}{C_7^4}=\frac{1}{35}$；$P（X=1）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$；$P（X=2）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$；$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_7^4}=\frac{4}{35}$．
所以，X 的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．

点评 本题考查了抽样方法的基本性质，及古典概型的分布列、期望，属于基础题．