Question

等轴双曲线x²-y²=4上一点P到直线y=2x+1的距离最小，此时P点的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由题意，存在双曲线的切线l，使直线l经过点P且与直线y=2x+1平行，l与直线y=2x+1之间的距离就是点P到直线y=2x+1的距离的最小值．由此根据切线l方程与双曲线方程联解得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式列式，解出满足条件的切线l方程，进而可求得满足条件的点P的坐标．

解答：解：根据题意，存在过P点的切线l，当l与直线y=2x+1平行时，
两条平行线之间的距离等于点P到直线y=2x+1的距离，且这个距离达到最小值．
设切线l方程为y=2x+m，由

x 2-y 2=4 y=2x+m

消去y，得3x²+4mx+m²+4=0…（*）
∴△=16m²-4×3×（m²+4）=0，解之得m=±2

3

因此，经过点P与直线y=2x+1平行的切线l方程为y=2x±2

3

，
其中与直线y=2x+1的距离较近是y=2x+2

3

，
将m=2

3

代入（*）式，解之得x₁=x₂=-

4 3

3

，代入切线方程得P点坐标为P(-

4 3

3

，-

2 3

3

)
∴双曲线x²-y²=4上到直线y=2x+1的距离最小的P点的坐标为(-

4 3

3

，-

2 3

3

)
故答案为：(-

4 3

3

，-

2 3

3

)

点评：本题给出定直线与双曲线，求双曲线上到直线距离最小的点的坐标．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．