Question

20．已知函数f（x）=x³+x-2，g（x）=x³+x²+（1-a）x-1．
（1）若曲线y=f（x）在点P₀处的切线l平行于直线4x-y-1=0，且点P₀在第三象限，求点P₀的坐标；
（2）若对任意的x∈R，都有g（x）＞f（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得切点的坐标；
（2）由题意可得x²-ax+1＞0恒成立，运用判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+x-2的导数为f′（x）=3x²+1，
设P₀（m，n），由题意可得3m²+1=4，解得m=-1（1舍去），
n=-1-1-2=-4，即有P₀（-1，-4）；
（2）对任意的x∈R，都有g（x）＞f（x），
即为x²-ax+1＞0恒成立，
即有△＜0，即为a²-4＜0，
解得-2＜a＜2．
则实数a的取值范围为（-2，2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件，同时考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．