Question

已知动圆P与圆M：（x+1）²+y²=16相切，且经过M内的定点N（1，0）． 
（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）设O是轨迹C上的任意一点（轨迹C与x轴的交点除外），试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线OA与OB的斜率之积为定值（常数）？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用动圆P与定圆（x-1）²+y²=16相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；
（2）先设任意一点以及A、B的坐标，k_QA•k_QB=k（常数），根据轨迹方程列出关于k、s、t的方程，并求出k、s、t的值，即可求出结果．

解答：解：（1）由题意，两圆相内切，故，|PM|=4-|PN|，即|PM|+|PN|=4．
又∵MN=2＜4
∴动圆的圆心P的轨迹为以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆．
动点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设点Q（x₀，y₀），则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，x₀≠±2
设A（s，0），B（t，0），k_QA•k_QB=k（常数）
∴k_QA•k_QB=

y0

x0-s

•

y0

x0-t

=

y 2 0

x 2 0 -(s+t)x0+st

=

12-3 x 2 0

4[ x 2 0 -(s+t)x0+st ]

=k
整理得（4k+3）x₀²-4k（s+t）x₀+4（kst-3）=0
由题意，上面的方程对（-2，2）内的一切x₀均成立
∴4k+3=0，-4k（s+t）=0且4（kst-3）=0
解得k=-

3

4

，s=2，t=-2，或s=-2，t=2
∴在x轴上只存在两定点A（2，0）、B（-2，0）使得直线QA与QB的斜率之积为定值-

3

4

．

点评：题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度．