Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=t（常数t＞0），S_n是其前n项和，且Sn=

n(an-a1)

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；
（Ⅲ）令bn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求证：2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3．（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）递推式中令n=1，即得a=0；
（Ⅱ）由递推式，再写一式，两式相减，可得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2），再用叠乘法，可得数列{a_n}是等差数列，从而可求通项公式；
（Ⅲ）确定得bn=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂项法，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：令Sn=

n(an-a1)

2

中n=1，即得a=0…（2分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：Sn=

n(an-a1)

2

=

nan

2

，即有2S_n=na_n，
又有2S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2）
两式相减得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1（n≥2），
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2），…（5分）
于是（n-3）a_n-1=（n-2）a_n-2，（n-4）a_n-2=（n-3）a_n-3，…，a₃=2a₂（n≥3），
以上n-4个等式相乘得：a_n=（n-1）a₂=（n-1）t（n≥3），…（8分）
经验证a₁，a₂也适合此式，所以数列{a_n}是等差数列，其通项公式为a_n=（n-1）t．…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得Sn=

n(n-1)t

2

，从而可得bn=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)＞2，
故b₁+b₂+…+b_n＞2n；                                    …（11分）
b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（1-

1 3

）+（

1

2

-

1

4

）…+(

1

n

-

1

n+2

)]=2n+2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜2n+3
综上有，2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3．（n∈N^*）…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．