Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4
（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程；
（3）圆C上有一动点M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀），若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线x=2满足题意；当k存在时，变形出l方程，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；
（2）分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，直线l与圆的两个交点距离为2

3

，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），求出圆心到直线l的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l的方程；
（3）设Q（x，y），表示出

OQ

，

OM

，代入已知等式中化简得到x=x₀，y=2y₀，代入圆方程变形即可得到Q轨迹方程．

解答：解：（1）当k不存在时，x=2满足题意；
当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），
由

|2-k|

k2+1

=2得，k=-

3

4

，
则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，

3

）和（1，-

3

），这两点的距离为2

3

，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，
∴d=

22-( 2 3 2 )2

=1，即

|2-k|

k2+1

=1，
解得：k=

3

4

，
此时直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；
（3）设Q点的坐标为（x，y），
∵M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀），

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀），
∴x=x₀，y=2y₀，
∵x₀²+y₀²=4，
∴x²+（

y

2

）²=4，即

x2

4

+

y2

16

=1．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及与直线有关的轨迹方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，以及平面向量的数量积运算，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要求学生考虑问题要全面，做到不重不漏．