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    一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
    （Ⅰ）判断f1(x)=
    		x
    ，f2（x）=x，f3（x）=x2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
    （Ⅱ）如果g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），证明g（x）不是“保三角形函数”；
    （Ⅲ）若函数F（x）=sinx，x∈（0，A）是“保三角形函数”，求A的最大值．
    （可以利用公式sinx+siny=2sin
    x+y
    2
    cos
    x-y
    2
    ）
    分析：（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边（2）要想一个函数不是“保三角形函数”关键是根据题中条件g（x）是定义在R上的周期函数，且值域为（0，+∞），举出反例．（3）则是要利用“保三角形函数”的概念，求A的最值，观察到Sinx的最大值为1，且Sin
    5π
    6
    =
    1
    2
    ，故可猜想
    5π
    6
    可能为分类讨论的分类标准，所以解答过程可通过对x与
    5π
    6
    的关系进行分类讨论，最后给出结论．
    解答：解：（I）f1（x），f2（x）是“保三角形函数”，f3（x）不是“保三角形函数”．
    任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
    由于
    		a
    +
    		b
    ＞
    		a+b
    ＞
    		c
    ＞0    ，所以f1（x），f2（x）是“保三角形函数”．
    对于f3（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，
    所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”．
    （II）设T＞0为g（x）的一个周期，由于其值域为（0，+∞），
    所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
    取正整数λ＞
    n-m
    T
    ，可知λT+m，λT+m，n这三个数可作为一个三角形的三边长，
    但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作为任何一个三角形的三边长．
    故g（x）不是“保三角形函数”．
    （III）A的最大值为
    5π
    6

    ①若A＞
    5π
    6
    ，
    取
    π
    2
    ，
    5π
    6
    ，
    5π
    6
    ∈(0，A)    ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，
    但sin
    π
    2
    =1，sin
    5π
    6
    =
    1
    2
    ，sin
    5π
    6
    =
    1
    2
    不能作为任何一个三角形的三边长，
    故F（x）不是“保三角形函数”．
    ②当A=
    5π
    6
    时，对任意三角形的三边a，b，c，若a，b，c∈(0，
    5π
    6
    )    ，则分类讨论如下：
    （1）a+b+c≥2π，
    此时a≥2π-b-c＞2π-
    5π
    6
    -
    5π
    6
    =
    π
    3
    ，同理，b，c＞
    π
    3
    ，
    ∴a，b，c∈(
    π
    3
    ，
    5π
    6
    )    ，故sina，sinb，sinc∈(
    1
    2
    ，1]    ，sina+sinb＞
    1
    2
    +
    1
    2
    =1≥sinc    ．
    同理可证其余两式．
    ∴sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长．
    （2）a+b+c＜2π
    此时，
    a+b
    2
    +
    c
    2
    ＜π    ，可得如下两种情况：
    a+b
    2
    ≤
    π
    2
    时，由于a+b＞c，所以，0＜
    c
    2
    ＜
    a+b
    2
    ≤
    π
    2
    ．
    由sinx在(0，
    π
    2
    ]    上的单调性可得0＜sin
    c
    2
    ＜sin
    a+b
    2
    ≤1    ；
    a+b
    2
    ＞
    π
    2
    时，0＜
    c
    2
    ＜π-
    a+b
    2
    ＜
    π
    2
    ，
    同样，由sinx在(0，
    π
    2
    )    上的单调性可得0＜sin
    c
    2
    ＜sin
    a+b
    2
    ＜1    ；
    总之，0＜sin
    c
    2
    ＜sin
    a+b
    2
    ≤1    ．
    又由|a-b|＜c＜
    5π
    6
    及余弦函数在（0，π）上单调递减，
    得cos
    a-b
    2
    =cos
    |a-b|
    2
    ＞cos
    c
    2
    ＞cos
    5π
    12
    ＞0    ，
    ∴sina+sinb=2sin
    a+b
    2
    cos
    a-b
    2
    ＞2sin
    c
    2
    cos
    c
    2
    =sinc    ．
    同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc也是某个三角形的三边长．
    故A=
    5π
    6
    时，F（x）是“保三角形函数”．
    综上，A的最大值为
    5π
    6
    ．
    点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可．
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    1
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    1
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