【题目】如图，
，
分别是通过某城市开发区中心O的两条东西和南北走向的街道，连接M，N两地间的铁路是圆心在上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且
，点N到，的距离分别为5km和4km．
（1）建立适当的坐标系，求铁路路线所在圆弧的方程．
（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于
km，求该校址距点O的最近距离．
【答案】（1）
；（2）校址选在距离O为5km的地方最近
【解析】
(1)由已知得以
，
为x轴、y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，得出M，N的坐标，铁路路线所在圆弧所在的圆的圆心既在x轴上，又在直线MN的垂直平分线上，由此可求出圆心的坐标，再利用两点的距离求出半径，从而得出铁路路线所在圆弧的方程.
(2)设出校址的坐标，根据两点的距离公式列出不等式，再利用(1)小问中求出的圆弧的方程代换掉不等式中的y,得出关于x的不等式，再将所得的不等式设成关于x的一次函数，利用一次函数的单调性列出关于a的不等式，得解.
（1）如图，分别以，为x轴、y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．则
，
，故
，MN的中点为
．
线段MN的垂直平分线方程为
．
由于圆心既在线段MN的垂直平分线方程上，又在x轴上，
所以令直线方程中的
，得
．
故圆心
，
．圆A的方程为
．弧MN的方程为
（2）设校址选在
，则
对
恒成立．整理，得
对恒成立．令
．
，
．
函数
在区间
上为减函数．
，即
，解得
，即校址选在距离O为5km的地方最近．
故得解.
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【题目】已知曲线C：y=
，D为直线y=
上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，
)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
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【题目】在四棱锥P—ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，
试确定
的值，使得二面角Q—BD—P为45°．
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【题目】给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B.已知向量
，则
与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.
是空间四点，若
不能构成空间的一个基底，那么共面
D.已知向量
组是空间的一个基底，若
，则
也是空间的一个基底
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【题目】已知函数
，
，
，三个函数的定义域均为集合
．
（1）若
，试判断集合
与
的关系，并说明理由；
（2）记
，是否存在
，使得对任意的实数
，函数
有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数
；若不存在，说明理由．（以下数据供参考：
，
）
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【题目】椭圆
的左右焦点分别为
，
为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A.过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，则
的周长为
.
B.椭圆上存在点
，使得
.
C.椭圆的离心率为
D.为椭圆
一点，
为圆
上一点，则点，的最大距离为
.
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【题目】选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以平面直角坐标系
的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点
到坐标原点的距离
的最大值；
（Ⅱ）若曲线与曲线相交于
，
两点，且与轴相交于点
，求
的值．
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