Question

设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为

3	4V

．

Answer 1

分析：设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=

3

2

a2+

4 3 V

a

，最后利用导函数即得底面边长．

解答：解：设底边边长为a，高为h，
则V=Sh=

3

4

a²×h，
∴h=

4V

3 a2

=

4 3 V

3a2

，
则表面积为S=3ah+2•

3

4

a2=

3

2

a2+

4 3 V

a

，
则S′=

3

a-

4 3 V

a2

，
令S′=

3

a-

4 3 V

a2

=0可得

3

a=

4 3 V

a2

，
即a=

3	4V

．
故答案为

3	4V

．

点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．