Question

设数列{a_n}(n＝1,2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

(1)若a₁＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”.

(2)若a_n＝2n－7(n∈N_＋)，试判断数列{a_n}是否是“封闭数列”，为什么？

(3)设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d＝1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使＜＋＋…＋＜.若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)a_n＝4＋(n－1)·2＝2n＋2，

对任意的m，n∈N_＋，有a_m＋a_n＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2，

∵m＋n＋1∈N_＋于是，令p＝m＋n＋1，则有a_p＝2p＋2∈{a_n}.

(2)∵a₁＝－5，a₂＝－3，∴a₁＋a₂＝－8，令a_n＝a₁＋a₂＝－8，即2n－7＝－8解得n＝－N_＋，所以数列{a_n}不是封闭数列.

(3)由{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N_＋，必存在p∈N_＋使a₁＋(n－1)＋a₁＋(m－1)＝a₁＋(p－1)成立，于是有a₁＝p－m－n＋1为整数，

又∵a₁＞0，∴a₁是正整数.

若a₁＝1，则S_n＝，所以＋＋…＋

＝2(1－)＞，不符合题意，

若a₁＝2，则S_n＝，所以＋＋…＋＝(1＋＋－－－)

＝－×(＋＋)＜，而－×(＋＋)＞－×＝－＞，所以符合题意，

若a₁＝3，则S_n＝，所以＋＋…＋＝(1＋＋＋＋－－－－－)

＝－(＋＋＋＋)＜，

综上所述，a₁＝2时存在数列{a_n}是“封闭数列”，此时a_n＝n＋1(n∈N_＋).