Question

如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线 AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H．
（1）求证：C，D，E，F四点共圆；
（2）若GH=8，GE=4，求EF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；
（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH²=GC•GD，进而得到GH²=GE•GF即可．

解答： 解：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠AFE．
∴C，D，E，F四点共圆；
（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切线，∴GH²=GC•GD，∴GH²=GE•GF．
又因为GH=8，GE=4，所以GF=16．
∴EF=GF-GE=12．

点评：熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理、割线定理等是解题的关键．