Question

18．已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过P任作一条直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值
（2）设C为抛物线上位于第一象限的任意一点，过C作直线l与抛物线相切，求证：F关于直线l的对称点在抛物线的准线上．

Answer 1

分析 （1）由已有可得直线AB过点P（-1，0）设直线AB的方程为：x=my-1，$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$、$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，联立直线与抛物线方程，由韦达定理和向量数量积的定义，可得答案；
（2）设$C（\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}）$（y₀＞0），利用导数法，求出l的方程，解得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y²=4x的焦点为F为（1，0），
准线与x轴的交点P为（-1，0），
故直线AB过点P（-1，0）
∴设直线AB的方程为：x=my-1，$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$、$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my+4=0，则y₁•y₂=4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}+{y_1}•{y_2}=5$
证明：（2）设$C（\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}）$（y₀＞0），
∵抛物线y²=4x在第一象限的方程可化为函数$y=2\sqrt{x}$，$y'=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
∴直线l的斜率为$\frac{2}{y_0}$，直线l的方程为：$y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$
过C点作抛物线准线的垂线，垂足为D（-1，y₀），根据抛物线定义：|CF|=|CD|
线段DF的垂直平分线方程为：$y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$与直线l重合
∴F关于直线l的对称点在抛物线的准线上．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．