Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为抛物线的焦点，，是椭圆上的两个动点，且线段长度的最大值为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）根据抛物线和椭圆的几何性质，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）当，为椭圆顶点时，易得的面积；当，不是椭圆顶点时，设直线的方程为，联立方程组，利用根和系数的关系，以及弦长公式，求得，同理求得，得到面积的表达式，利用基本不等式，即可求解.

（1）∵的焦点为，

∴椭圆的右焦点为，即，

又的最大值为4，因此，

∴，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）①当，为椭圆顶点时，易得的面积为，

②当，不是椭圆顶点时，设直线的方程为：，

由，得，所以，

由，得直线的方程为：，

所以，

所以

，

，当且仅当时等号成立，

所以，所以，

综上，面积的最小值为.