Question

点P是△ABC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心．
求证：（1）平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求A′B′：AB．

Answer 1

证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q，
连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，
∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上，
且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3．
在△PMN中，，故C′A′∥MN，
又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC，
∴A′C′∥AC，∴A′C′∥平面ABC，
同理A′B′∥平面ABC∴平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）由（1）知，，∴A′B′：AB=1：3．
分析：（1）由A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，和三角形重心所具有的特性可证A′C′∥平面ABC与A′B′∥平面ABC，可证平面ABC∥平面A′B′C′
（2）由三角形重心所具有的特性可找出A′B′与NQ的比，及AB与NQ的比即可找A′B′：AB
点评：要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．