Question

设f(x)=

1

x+2

+1g

1-x

1+x

（Ⅰ）证明f（x）在（-1，1）上是减函数；
（Ⅱ）若f（x）的反函数为f^-1（x），试证明方程f^-1（x）=0只有唯一解；
（Ⅲ）解关于x的不等式：f[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）令分母不为0且真数大于0求出函数的定义域；利用导数的运算法则求出导函数，判断出导函数的符号，得证．
（II）根据互为反函数的单调性相同，得到f^-1（x）递减；求出f（0）的值，得到反函数有根，据单调证得根唯一．
（III）将

1

2

用f（0）代替，利用f（x）的单调性去掉法则f，注意定义域；解二次不等式组求出解集．

解答：证明：（I）f（x）在（-1，1）上递减
函数的定义域为

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，1）
∵f′(x)=-

1

(x+2)2

-

2

1-x2

ln10＜0
∴f（x）在（-1，1）上递减
（II）∵f（x）与f^-1（x）的单调性相同
∴f^-1（x）在定义域上递减
∵f(0)=

1

2

∴f-1(

1

2

)=0
∴f^-1（x）=0有解，且唯一
（III）原不等式同解于f[x(x-

1

2

)]＜f(0)
∵f（x）在（-1，1）上递减
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

解得

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0
∴解集为{x|

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0}．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．解抽象不等式应先将不等式化为f（m）＞f（n）（f（m）＜f（n））的形式．属于基础题．