分析 (1)根据已知条件中的垂直关系,建立空间直角坐标系,要证明DA1⊥ED1,只需证明$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=0即可,建立空间直角坐标系后,写出有关点的坐标,得到向量$\overrightarrow{D{A}_{1}}$和$\overrightarrow{E{D}_{1}}$的坐标,利用向量的数量积的计算公式进行计算.
(2)先利用求平面法向量的计算公式,求出平面CED1的法向量,由已知直线与平面成角为45°,利用夹角公式得到方程,解出$\frac{AE}{AB}$的值.
解答 证明:(1)以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),
设E(1,m,0)(0≤m≤1)
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=(-1,-m,1),
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0,
所以DA1⊥ED1.
解:(2)设平面CED1的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
∵$\overrightarrow{C{D}_{1}}=(0,-1,1)$,$\overrightarrow{CE}$=(1,m-1,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x+(m-1)y=0}\end{array}\right.$,取z=1,得y=1,x=1-m,得$\overrightarrow{n}$=(1-m,1,1).
∵直线DA1与平面CED1成角为45o,∴sin45°=$\frac{|\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2-m|}{\sqrt{2}•\sqrt{{m}^{2}-2m+3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
解得m=$\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AE}{AB}$的值为$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{30}$ | B. | $\frac{1}{15}$ | C. | $\frac{1}{10}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 32 | B. | 36 | C. | 48 | D. | 64 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 6 | B. | $6+2\sqrt{3}$ | C. | $8+8\sqrt{2}$ | D. | $4+4\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{6}$ |
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