Question

16．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点．
（1）求证：DA₁⊥ED₁；
（2）若直线DA₁与平面CED₁成角为45°，求$\frac{AE}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明DA1⊥ED1，只需证明$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=0即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量$\overrightarrow{D{A}_{1}}$和$\overrightarrow{E{D}_{1}}$的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算．
（2）先利用求平面法向量的计算公式，求出平面CED₁的法向量，由已知直线与平面成角为45°，利用夹角公式得到方程，解出$\frac{AE}{AB}$的值．

解答 证明：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），
设E（1，m，0）（0≤m≤1）
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（-1，-m，1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
所以DA1⊥ED1．
解：（2）设平面CED1的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{C{D}_{1}}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{CE}$=（1，m-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x+（m-1）y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=1，x=1-m，得$\overrightarrow{n}$=（1-m，1，1）．
∵直线DA1与平面CED1成角为45o，∴sin45°=$\frac{|\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2-m|}{\sqrt{2}•\sqrt{{m}^{2}-2m+3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{AE}{AB}$的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力．