Question

16．设半径为3的圆C被直线l：x+y-4=0截得的弦AB的中点为P（3，1），且弦长$|{AB}|=2\sqrt{7}$，则圆C的标准方程（x-4）²+（y-2）²=9，或（x-2）²+y²=9．

Answer 1

分析 先求出弦心距，再根据圆C被直线l：x+y-4=0截得的弦AB的中点为P（3，1），建立方程，即可求得圆C的方程．

解答 解：由题意设所求的圆的方程为：（x-a）²+（y-b）²=9． 
圆心到直线的距离为d=$\sqrt{9-7}$=$\sqrt{2}$=$\frac{|a+b-4|}{\sqrt{2}}$，
∵圆C被直线l：x+y-4=0截得的弦AB的中点为P（3，1），
∴$\frac{1-b}{3-a}$=1，
∴a=4，b=2或a=2，b=0
即所求的圆的方程为：（x-4）²+（y-2）²=9或（x-2）²+y²=9．
故答案为：（x-4）²+（y-2）²=9，或（x-2）²+y²=9．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求圆的标准方程，属于中档题．