Question

5．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒直径为0.6m，长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜PO₁Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO₂N弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，其中F₂同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：mm），分别求抛物线和双曲线的方程．

Answer 1

分析 根据题意，对于双曲线，有$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2080}\\{c-a=529}\end{array}\right.$，求出a，b，c可得双曲线的方程；求出抛物线的顶点的横坐标，可得抛物线的方程．

解答 解：对于双曲线，有$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2080}\\{c-a=529}\end{array}\right.$，∴a=775.5，c=1304.5，
∴b=$\sqrt{1100320}$，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{601400.3}$-$\frac{{y}^{2}}{1100320}$=1（x＞775.5）；
∵抛物线的顶点的横坐标是-（1763-a）=-（1763-775.5）=-987.5，
∴抛物线的方程为y²=9168（x+987.5）．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题．