Question

某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：

足球	跳水	柔道
10	6	4

（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A． （1分）
则=．（3分）
答：从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是．
（Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B． （4分）
则，所以．（7分）
答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是．
解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． （4分）
则P（C）==．（7分）
答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．（8分）
由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为 （9分）
所以P（ξ=0）=； P（ξ=1）=；
p（ξ=2）=； p（ξ=3）=；
p（ξ=4）==．（11分）
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

（12分）
所以Eξ=．（14分）
解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为．（8分）
则随机变量ξ～B（4，）．（10分）
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

（12分）
所以Eξ=np=4×=．（14分）
分析：（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A．由组合数公式能求出他们恰好观看的是同一场比赛的概率．
（Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B．先求出B的概率，再由对立事件的概率求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． 由组合数公式求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为 所以P（ξ=0）=； P（ξ=1）=；p（ξ=2）=； p（ξ=3）=；p（ξ=4）==．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为．随机变量ξ～B（4，）．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期和方差，解题时要认真审题，注意组合数公式的合理运用．