Question

直线AB过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：=0，∥；
（Ⅲ）若p是不为1的正整数，当=4P²，△ABN的面积的取值范围为[5，20]时，求该抛物线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由条件得M（0，-），F（0，）．设直线AB的方程为y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，Q（）．由得x²-2pkx-p²=0．由韦达定理能够推导出•的取值范围．
（Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得．k_NA=y，k_NB═y．切线NA的方程为：y-=，切线NB的方程为：．由解得N（，），从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．由此能够证明=0，∥．
（Ⅲ）由．又根据，知4p²=p²k²，而p＞0，k²=4，k=±2．由=（-pk，p），=（x₂-x₁）（1，k），知，从而．由此能够求出抛物线的方程．
解答：解：（Ⅰ）由条件得M（0，-），F（0，）．设直线AB的方程为
y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁²=2py₁，x₂²=2py₂，Q（）．（2分）
由得x²-2pkx-p²=0．
∴由韦达定理得x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²（3分）
从而有y₁y₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p=2pk₂+p．
∴•的取值范围是[0，+∞）．（4分）
（Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得．
∴k_NA=y，k_NB═y．
∴切线NA的方程为：y-=即y=．
切线NB的方程为：（6分）
由解得∴N（，）
从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．
∴NQ∥OF．即（7分）
又由（Ⅰ）知x₁+x₂=2pk，x₁•x₂=-p²，
∴N（pk，-）．（8分）
而M（0，-）∴
又．∴．（9分）
（Ⅲ）由．又根据（Ⅰ）知
∴4p²=p²k²，而p＞0，∴k²=4，k=±2．（10分）
由于=（-pk，p），=（x₂-x₁）（1，k）
∴
从而．（11分）
又||=，||=y₁+y₂+p=2pk²-2p=10p，
∴．
而S_△ABN的取值范围是[5，20]．
∴5≤5，p²≤20，1≤p²≤4．（13分）
而p＞0，∴1≤p≤2．
又p是不为1的正整数．
∴p=2．
故抛物线的方程：x²=4y．（14分）．
点评：本题考查数量积的取值范围、向量平行和垂直的证明、抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、导数性质、向量运算和距离公式的灵活运用．