Question

（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的圆心为(6，

π

2

)，半径为5，直线θ=α(

π

2

≤θ＜π，ρ∈R)被圆截得的弦长为8，则α=

2π

3

．

．

Answer 1

分析：设出圆上任一点的极坐标，利用两点间的距离公式表示出|PC|的长，让其值等于圆的半径5，即可得到圆C的极坐标方程，把直线方程代入圆C的方程，得到一个关于ρ的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出直线被圆截得的弦长，将两根之和与两根之积代入后，然后其值等于8，即可求出sinα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α的度数．

解答：解：设圆C上任一点坐标为P（ρ，θ），圆心C（6，

π

2

），圆的半径r=5，
所以|PC|=

ρ2+62-2ρcos( π 2 -θ)

=5，
化简得：ρ²-12ρsinθ+11=0，即为圆C的极坐标方程，
把直线θ=α代入圆C的方程得：ρ²-12ρsinα+11=0，
设直线与圆交于（ρ₁，α₁）（ρ₂，α₂），
根据韦达定理得：ρ₁+ρ₂=12sinα，ρ₁ρ₂=11，
所以直线被圆截得的弦长m=|ρ₁-ρ₂|=

( ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2

=

(12sinα)2-44

=8，即（12sinα）²=64+44，
化简得：sin²α=

3

4

，
解得sinα=

3

2

，又α∈（

π

2

≤θ＜π），
则α=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，两点间的距离公式，韦达定理及弦长公式，根据圆心坐标和半径得出圆C的极坐标方程是本题的突破点．