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13.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R
(1)试判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$,求函数f(x)的最小值;
(3)求函数f(x)在区间[a,a+2]上的最大值.

分析 (1)分a=0、a≠0两种情况利用奇偶性的定义讨论即可;
(2)先去绝对值符号,分情况讨论区间位置与对称轴的关系即可;
(3)通过x∈[a,a+2]时化简可知f(x)=$(x+\frac{1}{2})^{2}$-a+$\frac{3}{4}$,讨论区间[a,a+2]的中点与对称轴x=-$\frac{1}{2}$的位置关系即得结论.

解答 解:(1)当a=0时,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;
当a≠0时,∵f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
∴f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=$(x-\frac{1}{2})^{2}$+a+$\frac{3}{4}$,
∵-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$,
∴函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,
∴函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;
②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=$(x+\frac{1}{2})^{2}$-a+$\frac{3}{4}$,
∵-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$,
∴函数f(x)在[a,+∞)上单调递减,
∴函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是f(a)=a2+1;
综上所述,当-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$时,函数f(x)的最小值是a2+1;
(3)当x∈[a,a+2]时,f(x)=x2+x-a+1=$(x+\frac{1}{2})^{2}$-a+$\frac{3}{4}$,
①若$\frac{a+(a+2)}{2}$=-$\frac{1}{2}$即a=-$\frac{3}{2}$,则函数f(x)在[a,a+2]上最大值为f(-$\frac{3}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)=$\frac{13}{4}$;
②若$\frac{a+(a+2)}{2}$<-$\frac{1}{2}$即a<-$\frac{3}{2}$,则函数f(x)在[a,a+2]上最大值为f(a)=a2+1;
③若$\frac{a+(a+2)}{2}$>-$\frac{1}{2}$即a>-$\frac{3}{2}$,则函数f(x)在[a,a+2]上最大值为f(a+2)=a2+4a+7.

点评 本题考查函数的单调性、最值,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.

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