Question

13．已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$，求函数f（x）的最小值；
（3）求函数f（x）在区间[a，a+2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）分a=0、a≠0两种情况利用奇偶性的定义讨论即可；
（2）先去绝对值符号，分情况讨论区间位置与对称轴的关系即可；
（3）通过x∈[a，a+2]时化简可知f（x）=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-a+$\frac{3}{4}$，讨论区间[a，a+2]的中点与对称轴x=-$\frac{1}{2}$的位置关系即得结论．

解答 解：（1）当a=0时，f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数；
当a≠0时，∵f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，
∴f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a），
此时函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）①当x≤a时，函数f（x）=x²-x+a+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+a+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，
∴函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1；
②当x≥a时，函数f（x）=x²+x-a+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-a+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）在[a，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是f（a）=a²+1；
综上所述，当-$\frac{1}{2}$$≤a≤\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最小值是a²+1；
（3）当x∈[a，a+2]时，f（x）=x²+x-a+1=$（x+\frac{1}{2}）^{2}$-a+$\frac{3}{4}$，
①若$\frac{a+（a+2）}{2}$=-$\frac{1}{2}$即a=-$\frac{3}{2}$，则函数f（x）在[a，a+2]上最大值为f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$；
②若$\frac{a+（a+2）}{2}$＜-$\frac{1}{2}$即a＜-$\frac{3}{2}$，则函数f（x）在[a，a+2]上最大值为f（a）=a²+1；
③若$\frac{a+（a+2）}{2}$＞-$\frac{1}{2}$即a＞-$\frac{3}{2}$，则函数f（x）在[a，a+2]上最大值为f（a+2）=a²+4a+7．

点评 本题考查函数的单调性、最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．