Question

若椭圆C：的离心率e为, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设点M(2,0), 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标；

(3) 设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点, 过P点斜率为k的直线l交椭圆与

A,B两点, 若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关, 求k的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）(5,0)

（3）k＝±．

【解析】

试题分析：解：（1）∵依题意a=5,c=3∴椭圆C的方程为：      2¢

（2）设Q(x,y), －5≤x≤5

∴

∵对称轴

∴当x＝5时, |MQ|²达到最小值,

∴当|MQ|最小时, Q的坐标为(5,0)                     ·6¢

（3）设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), P(m,0)(－5≤m≤5), 直线l：y＝k(x－m)

由

得,  8¢

∴y₁＋y₂＝k(x₁－m)＋k(x₂－m)＝k(x₁＋x₂)－2km＝

y₁y₂＝k²(x₁－m)(x₂－m)＝k²x₁x₂－k²m(x₁＋x₂)＋k²m²＝·   10¢

∴

＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂－2a(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂)²－2y₁y₂－2y₁y₂＋2a²

＝    -12分

∵|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关

∴512－800k²＝0∴k＝±．     13¢

考点：直线与椭圆的位置关系

点评：主要是考查了直线与椭圆的运用，属于中档题。