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15.已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦点分别为F1、F2,若双曲线C的右支上存在一点P,使得($\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0,O为坐标原点,且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=λ|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|,则实数λ等于(  )
A.4B.2C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{2}$

分析 设点P(3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$,m),由($\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0解出 m,根据双曲线的第二定义得e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{3\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}-\frac{9}{\sqrt{17}}}$,求出|PF2|的值,再利用第一定义求出|PF1|的值,即得λ值.

解答 解:由题意得a=3,b=2$\sqrt{2}$,
∴c=$\sqrt{17}$,F1(-$\sqrt{17}$,0),F2 ($\sqrt{17}$,0),
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$.
设点P(3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$,m),
∵($\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=(3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$+$\sqrt{17}$,m)•(3$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}$-$\sqrt{17}$,m)
=9(1+$\frac{{m}^{2}}{8}$)-17+m2=0,
m2=$\frac{64}{17}$,m=±$\frac{8\sqrt{17}}{17}$.
由双曲线的第二定义得 e=$\frac{\sqrt{17}}{3}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{3\sqrt{1+\frac{{m}^{2}}{8}}-\frac{9}{\sqrt{17}}}$,
∴|PF2|=2,
∴|PF1|=2a+|PF2|=8,∴λ=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$═4,
故选:A.

点评 本题考查两个向量坐标形式的运算,双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用.

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