Question

19．已知f₁（x）=sinx，f_n+1（x）=f_n（x）•f_n′（x），其中f_n′（x）是f_n（x）的导函数（n∈N^*），设函数
f_n（x）的最小正周期是T_n
（1）T_n=$\frac{π}{{2}^{n-2}}$；
（2）若T₁+T₂+T₃+…+T_n＜k恒成立，则实数k的最小值是4π．

Answer 1

分析 （1）先找到规律，得到f_n（x）=f_n-1（x）•f_n-1′（x）=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$sin（2^n-1x），再根据周期公式计算即可；
（2）根据等比数列的前n项和公式，即可求出k的最小值．

解答 解：（1）f_n+1（x）=f_n（x）•f_n′（x），
f₁（x）=sinx，
∴f₂（x）=f₁（x）f₁′（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，
f₃（x）=f₂（x）f₂′（x）=$\frac{1}{2}$sin2xcos2x=$\frac{1}{4}$sin4x，
f₄（x）=f₃（x）f₃′（x）=$\frac{1}{4}$sin4xcos4x=$\frac{1}{8}$sin8x，
…，
f_n（x）=f_n-1（x）•f_n-1′（x）=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$sin（2^n-1x），
∴T_n=$\frac{2π}{{2}^{n-1}}$=$\frac{π}{{2}^{n-2}}$，
（2）T₁+T₂+T₃+…+T_n=2π+π+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$+…+$\frac{π}{{2}^{n-2}}$=π（$\frac{2（1-{2}^{-n}）}{1-\frac{1}{2}}$）=4π（1-2^-n）＜4π，
∴实数k的最小值是4π．
故答案为（1）$\frac{π}{{2}^{n-2}}$，（2）4π．

点评 本题考查导数的应用以及归纳推理和等比数列的求和公式，属于中档题．