Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

Answer 1

（1）y2=4x（2）不存在；当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

解析:

（1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

   

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

，

，

∠CAB为钝角.

.  

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

.

解法二： 以AB为直径的圆的方程为:

.

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，

B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

.

.

A，B，C三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：