Question

【题目】如图，直棱柱中，底面是菱形，，点F，Q是棱，的中点，，是棱，上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）证明四边形MNQE为平行四边形推出，证明四边形为平行四边形推出，即可得证；（2）建立平面直角坐标系，求出平面的一个法向量及向量的坐标，代入即可得解.

（1）证明：取中点，上一点，，连接，，，易证四边形为平行四边形，,

,四边形MNQE为平行四边形，则，

，四边形为平行四边形，∴．

∵平面，平面，

∴平面；

（2）连接，，设与交于点，∵底面是菱形，∴．

以为原点，，，及过点且与平行的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设平面的法向量，

则，令，得平面的一个法向量为

设直线与平面所成角为，，

即直线与平面所成角的正弦值为．