Question

已知数列{an}中，a1=

1

2

，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，代入计算可得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）利用b_n=a_n+1-a_n-1，及2a_n+1-a_n=n，即可证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）求得数列的前三项，求得λ，再验证即可求得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题意，∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵a1=

1

2

，∴a2=

3

4

，
同理，a3=

11

8

，a4=

35

16

；
（Ⅱ）证明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1=

an+1+n+1

2

-a_n+1-1=

1

2

（a_n+1-a_n-1）=

1

2

b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

∴数列{b_n}是以-

3

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅲ）解：存在λ=2，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列．
由（Ⅱ）知，bn=-3×(

1

2

)n+1，Tn=3×(

1

2

)n+1-

3

2

，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+3×(

1

2

)n+1，∴a_n=n-2+3×(

1

2

)n，
∴S_n=

n(n+1)

2

-2n+3×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

n2-3n

2

+3-

3

2n

由题意，要使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列，则2×

S2+λT2

2

=

S1+λT1

1

+

S3+λT3

3

∴2×

10-9λ

16

=

1

2

-

3

4

λ+

42-21λ

48

，∴λ=2
当λ=2时，

Sn+λTn

n

=

n-3

2

，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，考查是否存在性问题的探究，考查学生的计算能力，综合性强．