Question

12．已知函数f（x）在实数集R上具有下列性质：
①f（x+2）=-f（x）；
②f（x+1）是偶函数；
③当x₁≠x₂∈[1，3]时，（f（x₂）-f（x₁））（x₂-x₁）＜0．
则f（2011），f（2012），f（2013）的大小关系为（　　）

• A． f（2011）＞f（2012）＞f（2013）
• B． f（2012）＞f（2011）＞f（2013）
• C． f（2013）＞f（2011）＞f（2012）
• D． f（2013）＞f（2012）＞f（2011）

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性，对称性和单调性，将函数值进行转化，进行比较即可．

解答 解：由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
即函数f（x）是周期为4的周期函数．
若f（x+1）是偶函数，则f（-x+1）=f（x+1），则函数f（x）关于x=1对称，
当x₁≠x₂∈[1，3]时，（f（x₂）-f（x₁））（x₂-x₁）＜0．
则此时函数为减函数，
则f（2011）=f（502×4+3）=f（3），
f（503×4）=f（0）=f（2），
f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵当x∈[1，3]时，函数f（x）为减函数，
∴f（1）＞f（2）＞f（3），
即f（2013）＞f（2012）＞f（2011），
故选：D

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，对称性和单调性是解决本题的关键．