Question

【题目】已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点D距离为 的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是 ；
②若DP∥面ACB1 ， 则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是 ；
③若 ，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 ．
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如图，①正确，与点D距离为 的点P形成以D1为圆心，半径为 的 圆弧MN，长度为 = ； ②错误，因为面A1DC1∥面ACB1 ， 所以点P必须在面对角线A1C1上运动，当P在A1（或C1）时，DP与面ACC1A1所成角∠DA1O（或∠DC1O）的正切值为 最小，当P在O1时，DP与面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值为 最大，所以正切值取值范围是 ；
③正确，设P（x，y，1），则x2+y2+1=3，即x2+y2=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为 ，所以六个面上的正投影长度之和为 ，当且仅当P在O1时取等号．
故选C．