Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是BC和CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°．
（Ⅰ） 求证：B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ） 求二面角B₁-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AE}$=0，利用直线与平面垂直的判定定理可证B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分别求出平面AED和平面B₁AE一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角B₁-AE-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∵AB=AC=AA₁=4，
∴A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B₁（4，0，4），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2，2，-4），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，4，2），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AD}$=-4+4+0=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{AD}$，即B₁D⊥AD，
∵$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{AE}$=0+8-8=0，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{AE}$，即B₁D⊥AE，
又AD，AE?平面AED，且AD∩AE=A，
则B₁D⊥平面AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2，2，-4），为平面AED的一个法向量，
设平面B₁AE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，4，2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（4，0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{4y+2z=0}\\{4x+4z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，得x=2，z=-2，即$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
∴cos（$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{B}_{1}D}$）=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}D}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{6}{\sqrt{9}×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角二面角B₁-AE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 此题考查了二面角及求法，直线与平面垂直的判定，锻炼了学生空间想象能力和逻辑推理能力，熟练掌握二面角的求法及直线与平面垂直的判定方法是解本题的关键．