Question

在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成角为α，EF与BD所成角为β，则α+β等于

π

2

．

Answer 1

分析：欲求α+β的大小，因为α，β分别为异面直线EF与AC所成角，与异面直线EF与BD所成角，所以先找到两个角的平面角，通过E，F分别为AB，CD的中点，只需取BC中点，借助中位线的性质，就可分别得到AC，BD的平行线，找出角α，β，再根据正三棱锥的性质，把α，β放入直角三角形EFG中，求出α+β．

解答：解：取BC中点G，连接EG，FG，
∵E，G分别为AB，BC中点，∴EG∥AC，∴∠FEG为EF与AC所成角，即∠FEG=α
∵F，G分别为CD，BC中点，∴FG∥BD，∴∠EFG为EF与BD所成角，即∠EFG=β
由∵三棱锥A-BCD为正三棱锥，∴AC⊥BD，∵EG∥AC，FG∥BD，∴EG⊥FG，
∴∠EGF=

π

2

，∴α+β=

π

2

故答案为

π

2

点评：本题主要考查了正三棱锥的性质，以及正三棱锥中的异面直线所成角的求法，综合考查了学生的空间想象力，推理能力，转化能力．