Question

已知f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

π

3

)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2

3

，sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，函数f（x）取得最大值2；
（Ⅱ）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜2C+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2C+

π

6

=

5π

6

，解得C=

π

3

，
∵sinA=2sinB，
∴根据正弦定理，得a=2b，
∴由余弦定理，有c²=a²+b²-2abcosC，即12=4b²+b²-2b²=3b²，
解得：b=2，a=4，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×2×sin

π

3

=2

3

．