Question

设平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（

3

2

，

1

2

），函数f（x）=

a

•

b

+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当f（a）=

9

5

，且

π

6

＜a＜

2π

3

时，求sin（2a+

2π

3

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．

解答：解：依题意f（x）=

a

•

b

+1=（cosx，sinx）•（

3

2

，

1

2

）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1=sin（x+

π

3

）+1，
（Ⅰ）∵sin（x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴sin（x+

π

3

）+1∈[0，2]，
即函数f（x）的值域是[0，2]．
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，
∴函数f（x）的单调增区间为[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（a）=

9

5

得sin（a+

π

3

）+1=

9

5

，得sin（a+

π

3

）=

4

5

，
∵

π

6

＜a＜

2π

3

，
∴

π

2

＜a+

π

3

＜π，
得cos（a+

π

3

）=-

3

5

，
∴sin（2a+

2π

3

）=sin2（a+

π

3

）=2sin（a+

π

3

）cos（a+

π

3

）=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．