Question

【题目】设f（x）= （x＞0）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）证明：对任意实数a、b，恒有f（a）＜b2﹣3b+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = ，

∵x+ ≥4 ，

（当且仅当x= ，即x=2 时，等号成立）

故 ≤ =2 ，

故f（x）的最大值为2

（2）解：证明：∵b2﹣3b+ =（b﹣ ）2+3＞2 ，

又∵f（a）≤2 ，

∴对任意实数a、b，恒有f（a）＜b2﹣3b+

【解析】（1）利用分离常数法化简f（x）= = ，利用基本不等式求函数的最大值；（2）化简b2﹣3b+ =（b﹣ ）2+3＞2 ，从而可证明．
【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题．