Question

9．设函数$f（x）=\frac{{{e^2}{x^2}+1}}{x}，g（x）=\frac{{{e^2}x}}{e^x}$，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}≤\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立，则正数k的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． $[\frac{1}{2e-1}，+∞）$
• D． $（\frac{1}{2e-1}，+∞）$

Answer 1

分析 当x＞0时，f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由$\frac{{g（{x_1}）}}{k}≤\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立且k＞0，则 $\frac{{g（x）}_{max}}{k}$≤$\frac{{f（x）}_{min}}{k+1}$，可求k的范围．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$≥2 $\sqrt{{e}^{2}x•\frac{1}{x}}$=2e，
∴x₁∈（0，+∞）时，函数f（x₁）有最小值2e，
∵g（x）=$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}（1-x）}{{e}^{x}}$，
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，
则有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₁）_min=2e＞g（x₂）_max=e，
∵$\frac{{g（{x_1}）}}{k}≤\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立且k＞0，
∴$\frac{e}{k}$≤$\frac{2e}{k+1}$，
∴k≥1，
故选：A．

点评 本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度．