Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．
（1）求直线AE与平面CDE所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）要求线面角，必需找到该斜线与其射影的夹角，即要证明线面垂直，进而得到垂线、斜线与斜线的射影，即可根据解三角形的有关知识解决问题．
（2）结合（1）中的证明思路可得：线面垂直即CN⊥平面ABED，再利用棱锥的体积公式，进而求出四棱锥的体积；

解答：解：（1）取CD中点M，连接AM与EM （1分）
∵△ACD是正三角形，
∴AM⊥CD．（2分）
∵DE⊥平面ACD，
∴DE⊥AM．（3分）
又CD∩DE=D，
∴AM⊥平面CDE．（4分）
所以∠AEM就是AE与平面CDE所成角 （5分）
根据题意可得：在△AME中，AM=

3

，EM=

5

，
∴tan∠AEM=

15

5

．（7分）
所以直线AE与平面CDE所成角的大小为arctan

15

5

(写成arcsin

6

4

或arccos

10

4

也可)．（8分）
（2）取AD中点N，同理（1）可证CN⊥平面ABED，且CN=

3

．（10分）
由题意可得：VABCDE=VC-ABED=

1

3

SABED•CN=

1

3

•

AB+DE

2

•AD•CN=

1

3

•

3

2

•2•

3

=

3

．（14分）

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理与几何体体积的求解，以及线面角，而解决空间角的步骤是：找角，证角，求角三步，空间角是高考比考内容．