Question

作出函数y=|-x²+2x+3|的图象，并利用图象回答下列问题：
（1）函数在R上的单调区间；　　
（2）函数在[0，4]上的值域．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴y=-x²+2x+3图象开口方向向下，对称轴x=1，顶点坐标（1，4），
令x=0得：y=3，∴与y轴交点坐标（0，3），
令y=0得：-x²+2x+3=0，∴x₁=1 x₂=3，
∴与x轴交点坐标（-1，0），（3，0），
作出函数y=-x²+2x+3的图象，并把x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图所示
由图象可知，函数的单调减区间为（-∞，-1），（1，3）；单调增区间为（-1，1），（3，+∞）；
（2）根据图象，函数在[0，4]上的最小值为0，最大值为4，故值域为[0，4]．
分析：先把函数y=-x²+2x+3化成顶点式，即可直接得出其顶点坐标，分别令x=0，y=0求出图象与x、y轴的交点，根据其四点可画出函数的图象，根据图象，即可求得函数的单调区间与函数在[0，4]上的值域．
点评：本题考查的是二次函数的性质，只要根据题意把函数的一般式化为顶点式，在利用翻折变换画出函数的图象，便可轻松解答．