Question

18．如图，在△ABC中，$AB=2AC，cosB=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，点D在线段BC上．
（1）当BD=AD时，求$\frac{AD}{AC}$的值；
（2）若AD是∠A的平分线，$BC=\sqrt{5}$，求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用正弦定理可求$\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}$=2，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得sin∠ADC=2sinBcosB，在△ADC中，利用正弦定理可求$\frac{AD}{AC}$的值；
（2）设AC=x，则AB=2x，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求sinC的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，AB=2AC，
∴$\frac{sinC}{sinB}=\frac{AB}{AC}$=2，…3分
∵BD=AD，可得∠ADC=2∠B，
∴sin∠ADC=sin2B=2sinBcosB，
∴在△ADC中，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{sinC}{sin∠ADC}=\frac{2sinB}{2sinBcosB}$=$\frac{1}{cosB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$…6分
（2）设AC=x，则AB=2x，
在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（2x）^{2}-{x}^{2}}{4\sqrt{5}x}$，解得：x=1，或x=$\frac{5}{3}$，
因为：BD=2DC，所以：DC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$…10分
又由（1）知sinC=2sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
①当x=1时，S_△ADC=$\frac{1}{2}AC•DC•sinC$=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{3}$；
②当x=$\frac{5}{3}$时，S_△ADC=$\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{5}{9}$．
综上，△ADC的面积为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{9}$…12分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．