Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=4，BC=3，E、F分别是所在棱AB、BC的中点，点P是棱A₁B₁上的动点，联结EF，AC₁．如图所示．
（1）求异面直线EF、AC₁所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）（理科）求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积．
（文科）求以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF、AC₁所成角．
（2）（理科）由

AE

=（0，2，0），

AF

=（-

3

2

，4，0），求出S_△AEF，由此能求出以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积．
（2）（文科）由S_△BEF=

1

2

×BE×BF=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，能求出以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积．

解答： 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得E（3，2，0），F（

3

2

，4，0），
A（3，0，0），C₁（0，4，4），

EF

=（-

3

2

，2，0），

AC1

=（-3，4，4），
设异面直线EF、AC₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜

EF

，

AC1

＞|
=|

9 2 +8

9 4 +4 • 9+16+16

|=

5 41

41

，
∴θ=arccos

5 41

41

．
（2）（理科）∵

AE

=（0，2，0），

AF

=（-

3

2

，4，0），
∴|

AE

|=2，|

AF

|=

73

2

，
cos＜

AE

，

AF

＞=

8

2× 73 2

=

8 73

73

，
∴sin＜

AE

，

AF

＞=

1-( 8 73 73 )2

=

3 73

73

，
∴S_△AEF=

1

2

×|

AE

|×|

AF

|×sin＜

AE

，

AF

＞=

1

2

×2×

73

2

×

3 73

73

=

3

2

，
∴以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积：
V_P-AEF=

1

3

S△AEF•AA1=

1

3

×

3

2

×4=2．
（2）（文科）∵S_△BEF=

1

2

×BE×BF=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
∴以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积：
V_P-BEF=

1

3

S△BEF•AA1=

1

3

×

3

2

×4=2．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．