Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：BD⊥CE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．
又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）
因为PC?平面BDE，OE?平面BDE，
所以PC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）
因为PA⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．…（10分）
又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）
又CE?平面PAC，
所以BD⊥CE．…（13分）

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．