Question

10．圆C：x²+（y+3）²=8关于直线y=x的对称曲线为曲线C′，直线y=x+m-3与曲线C′交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为$\sqrt{7}$．
（1）求曲线C′的方程．
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据关于y=x对称点的特点，把圆心（-3，0）关于y=x的对称点找到，半径不变，即可得到曲线C′的方程；
（2）利用圆心到直线的距离即为三角形的高，根据勾股定理求出直线与圆相交所截取的弦长为三角形的底，根据三角形的面积公式列出方程求出m即可．

解答 解：（1）曲线C是以（-3，0）为圆心，2$\sqrt{2}$为半径的圆，曲线C′也应该是一个半径为2$\sqrt{2}$的圆，点（-3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，-3），所以曲线C′的方程为x²+（y+3）²=8；
（2）原点（0，0）到直线y=x+m-3的距离d=$\frac{|m-3|}{\sqrt{2}}$，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$×d×|AB|=$\frac{1}{2}$×d×2$\sqrt{8-{d}^{2}}$=$\sqrt{[8-\frac{（m-3）^{2}}{2}]×\frac{（m-3）^{2}}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴$\frac{（m-3）^{2}}{2}$=1或7，所以m=3±$\sqrt{2}$或m=3±$\sqrt{14}$．

点评 考查学生会根据动点的特点求动点形成的轨迹方程，会根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，灵活运用两点间的距离公式解决数学问题，会求曲线关于y=x的对称曲线．