Question

如图1，椭圆的下顶点为C，A，B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动，满足，其中O为坐标原点，现沿x轴将坐标平面折成直二面角．如图2所示，在空间中，解答下列问题：
（1）证明：OC⊥AB；
（2）设二面角O-BC-A的平面角为α，二面角O-AC-B的平面角为β，二面角O-AB-C的平面角为θ，求证：cos²α+cos²β+cos²θ=1；
（3）求三棱锥O-ABC的体积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，沿x轴将坐标平面折成直二面角后，OC⊥x轴，且OC⊥y轴，所以OC⊥面AOB，由此能够证明OC⊥AB．
（2）由，OA⊥OB，设直线OA方程为y=kx，OB的方程为y=-，解方程组，得A（，），解方程组，得B（-，），，OB=，OC=2，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法能够证明cos²α+cos²β+cos²θ=1．
（3）由OC⊥面OAB，知三棱锥O-ABC的高OC=2，底面积S=S_△0AB==≥3，由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最小值．
解答：（1）证明：由题设知，沿x轴将坐标平面折成直二面角后，
∵OC⊥x轴，且OC⊥y轴，
∴OC⊥面AOB，
∵AB?面AOB，
∴OC⊥AB．
（2）证明：∵，∴OA⊥OB，
∴设直线OA方程为y=kx，OB的方程为y=-，
解方程组，得A（，），（舍去x＜0的解）
解方程组，得B（-，），（舍去x＞0的解）
∵O（0，0），
∴，OB=，OC=2，
∵OC⊥面AOB，OA⊥OB，
∴以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（），B（0，，0），C（0，0，2），
∴，，
设平面ABC的法向量，则有
，
∴，
∵平面OBC的法向量，
∴=，
∵平面OAC的法向量，
∴，
∵平面OAB的法向量，
∴，
∴cos²α+cos²β+cos²θ==1．
（3）解：∵OC⊥面OAB，
∴三棱锥O-ABC的高OC=2，
底面积S=S_△0AB==≥3，
当且仅当k=0时，取最小值．
∴三棱锥O-ABC的体积的最小值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，难度大，综合性强，易出错．解题时巧妙地引空间直角坐标系，恰当地利用空间向量进行求解，能够简化运算．