Question

已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离的等差中项为．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过圆x²+y²+4y=0的圆心Q与曲线C交于M，N两点，且为坐标原点），求直线l的方程；
（3）设点，点P为曲线C上任意一点，求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知条件推断出的值，进而求得椭圆方程中的长轴长，则a可求，利用定点坐标求得焦距，则b可求得，最后求得椭圆的方程．
（2）设出M，N的坐标，利用判断出x₁x₂+y₁y₂=0设出直线l的方程代入椭圆的方程消去y，利用韦达定理表示出x₁x₂和x₁+x₂利用直线方程求得y₁y₂，代入x₁x₂+y₁y₂=0求得k，则直线l的方程可得．
（3）先利用椭圆的第二定义表示出到焦点与准线的距离求得点P到右准线的距离与的关系式，进而推断出此时的最小值为点A到右准线x=2的距离，则点P的坐标和最小距离可求得．
解答：解：（1）据已知，
所求曲线C是椭圆，长轴，，c=1，
所以椭圆的方程为．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，
设l：y=kx-2，
y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
联立，得x²+2（kx-2）²=2，
x₁，x₂为上述方程的两根，
∴
代入（*）得，
所求直线
（3）椭圆的右准线为x=2，设点P到右准线的距离为d，
则，，
此时的最小值为点A到右准线x=2的距离，，
此时点P的坐标为．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与直线的关系．考查了考生分析问题和解决问题的能力．