Question

在等腰梯形中，，，，是的中点．将梯形绕旋转，得到梯形（如图）．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)根据题意,由于即由已知可知 平面平面,结合面面垂直的性质定理得到.
(2)结合题意,得到面平面,又因为平面,所以 平面 从而得到证明.
(3)

试题分析：（1）证明：因为，是的中点
所以，又
所以四边形是平行四边形，所以
又因为等腰梯形，，
所以 ，所以四边形是菱形，所以

所以，即
由已知可知 平面平面，
因为 平面平面
所以平面                  4分
（2）证明：因为，，
 
所以平面平面
又因为平面,所以 平面              8分
（3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系
设，
则,, ，，       9分
则，
设平面的法向量为，有 ，得  
设平面的法向量为，有
得                                    12分
所以                                 13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为．                       14分
点评：主要是考查了线面平行以及面面平行的性质定理的运用,以及二面角的求解,属于基础题.