Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，
（Ⅰ）求证：∠BAC是直角；
（Ⅱ）求tan∠D的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理可得sinBcosB=sinCcosC，

即sin2B=sin2C，

∵b≠c，

∴2B+2C=180°，

∴B+C=90°，

∴∠BAC=180°﹣90°=90°，

（Ⅱ）：如图所示：过点C做CE⊥AC，

∵BC=4，BC=4CD，

∴CD=1，BD=5，

∵∠BAC=90°，

∴CE∥AB，

∴ = = = ，

设CE=x，则AB=5x，

∵∠CAD=30°，

∴AE=2x，AC= x，

∴ = ，

∴DE= x，

∵AB2+AC2=BC2，

∴25x2+3x2=16，

解得x= ，

在△CED中，∠CED=120°，CE= ，CD=1，

由正弦定理可得 = ，

即sinD= = ，

cosD= = ，

∴tanD= = ．

【解析】（Ⅰ）根据正弦定理以及二倍角公式即可证明，（Ⅱ）如图所示：过点C做CE⊥AC，根据平行线分线段成比例定理，设CE=x，则AB=5x，AD= x，再根据勾股定理可得x的值，再由正弦定理，sinD= ，再根据同角的三角函数的关系即可求出答案．