【题目】如图,设椭圆C: +y2=1(a>1)
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.
【答案】
(1)
由题意可得: ,可得:(1+a2k2)x2+2ka2x=0,
得x1=0或x2= ,
直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为: =
(2)
假设圆A与椭圆由4个公共点,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|,
记直线AP,AQ的斜率分别为:k1,k2;且k1,k2>0,k1≠k2,由(1)可知|AP|= ,|AQ|= ,
故: = ,所以,(k12﹣k22)[1+k12+k22+a2(2﹣a2)k12k22]=0,由k1≠k2,
k1,k2>0,可得:1+k12+k22+a2(2﹣a2)k12k22=0,
因此 a2(a2﹣2)①,
因为①式关于k1,k2;的方程有解的充要条件是:1+a2(a2﹣2)>1,
所以a> .
因此,任意点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:1<a<2,
e= = 得,所求离心率的取值范围是:
【解析】(1)联立直线y=kx+1与椭圆方程,利用弦长公式求解即可.(2)写出圆的方程,假设圆A与椭圆由4个公共点,再利用对称性有解已知条件可得任意一A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,a的取值范围,进而可得椭圆的离心率的取值范围.本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆与圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题的能力,考查转化思想以及计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=cos2x﹣sin2xsinφ﹣2cos2xsin2 (0<φ< )的图象的一个对称中心为( ,0),则下列说法不正确的是( )
A.直线x= π是函数f(x)的图象的一条对称轴
B.函数f(x)在[0, ]上单调递减
C.函数f(x)的图象向右平移 个单位可得到y=cos2x的图象
D.函数f(x)在x∈[0, ]上的最小值为﹣1
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1 , n∈N* , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1 , n∈N* , (P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( )
A.{Sn}是等差数列
B.{Sn2}是等差数列
C.{dn}是等差数列
D.{dn2}是等差数列
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45,点E、F分别为棱AB、PD的中点.
(1)求证:AF∥平面PCE;
(2)求三棱锥C-BEP的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C, AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(3)求点C到平面的距离.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:G是AB的中点;
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.
(1)在图中画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1 , l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com