Question

【题目】如图，设椭圆C： +y2=1（a＞1）

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

由题意可得： ，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，

得x1=0或x2= ，

直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为： =

（2）

假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，

记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|= ，|AQ|= ，

故： = ，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，

k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，

因此 a2（a2﹣2）①，

因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1，

所以a＞ ．

因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2，

e= = 得，所求离心率的取值范围是：

【解析】（1）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（2）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．