解:(1)由f(-x)=-f(x)可得,b=0,
设曲线C与x轴切于T(t,0),
则
?
?a=t=0?f(x)=x
3.
(2)h(x)=
=3λx+sinx,h′(x)=3λ+cosx(x≠0),
设切点(t
1,h(t
1))(t
2,h(t
2))?h′(t
1)•h′(t
2)=-1
则(3λ+cost
1)(3λ+cost
2)=-1,?9λ
2+3(cost
1+cost
2)λ+cost
1cost
2+1=0.
故△=9(cost
1+cost
2)
2-36(cost
1cost
2+1)≥0?(cost
1-cost
2)
2≥4,
又-1≤cost
1cost
2≤1?(cost
1-cost
2)
2≤4?cost
1-cost
2=4,
此时cost
1=1,cost
2=-1或者cost
1=-1,cost
2=1可得λ=0.
(3)g(x)=
,假设存在m,n符合题意:
(A)当m<0时,可得
,即m,n是方程g(x)=x的两个相异负根,得x
3-x+3=0,
令p(x)=x
3-x+3(x<3),p′(x)=3x
2-1=0?x=-
.
考虑
,由于p(0)=3>0,
故p(x)至多在(-∞,-
)有一个零点,此时m,n不存在
(B)当m≥0时,因g(x)=3-x
3在区间[m,n]上是减函数,
故
?
,
两式相减可得m
2+mn+n
2=1?(m+n)
2-mn=1,
由于mn<
?
?
由0≤m<n,?
,
?
,与条件矛盾,
此时m,n不存在
(C)当m<0≤n时,因为g(x)
max=g(0)=3?n=3,
若g(x)
min=g(3)=-24?m=-24,
,而g(-24)=3-24
3<g(x)
min,矛盾
若g(x)
min=g(m)=3+m
3?3+m
3=m (*),
因g(3)=-24≥g(x)
min?m≤-24,根据情况(A)知p(x)=x
3-x+3在(-∞,-24]上递增,
又p(-24)<0,从而方程(*)无满足m≤-24的解,故不存在.
综上所述,不存在实数m,n,使函数的定义域与值域均为[m,n].
分析:(1)利用已知条件,说明函数是奇函数,求出b的值,利用函数与x轴相切,求出a的值即可;
(2)利用h(x)=
的导数,通过曲线上存在相互垂直的两条切线,斜率乘积为-1,通过三角函数的有界性,求实数λ的取值范围;
(3)假设存在m,n符合题意:通过(A)当m<0时,可得
,即m,n是方程g(x)=x的两个相异负根,推出p(x)=x
3-x+3(x<3),p′(x)故p(x)至多在(-∞,-
)有一个零点,此时m,n不存在.
通过(B)当m≥0时,因g(x)=3-x
3在区间[m,n]上是减函数,利用
?
,与条件矛盾,此时m,n不存在
通过(C)当m<0≤n时,说明p(x)=x
3-x+3在(-∞,-24]上递增,推出无满足m的解,不存在.
点评:本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法,函数的零点,函数的值域的应用,考查分析问题与解决问题的能力,考查分类讨论思想的应用.