Question

函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x³-3ax（a为常数）．
（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，利用已知表达式即可求得f（-x），由偶函数性质可得f（-x）=f（x），从而可求f（x）；
（2）x∈[0，1]时，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），按a范围分类讨论f（x）在[0，1]的单调性，由单调性即可求得最值；

解答：解：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，所以f（-x）=-x³+3ax，
又因为f（x） 是偶函数，所以f（-x）=f（x），
故f（x）=-x³+3ax，x∈[0，1]；
（2）x∈[0，1]时，f（x）=-x³+3ax，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），
ⅰ）当a≤0 时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递减．
f_max（x）=f（0）=0；
ⅱ）当 a＞0时，由f′（x）=0得x=

a

，
①当a≥1 时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增．
f_max（x）=f（1）=-1+3a；
②当0＜a＜1时，f′（x）=-3（x+

a

）（x-

a

），
当0≤x＜

a

时，f′（x）＞0，f（x）在递增，当

a

＜x≤1时，f′（x）递减，
所以f_max（x）=f（

a

）=2a

a

．
综上所述：当a≤0时，f_max（x）=0；当a≥1时，f_max（x）=-1+3a；当0＜a＜1 时，f_max（x）=2a

a

．

点评：本题考查偶函数性质、函数最值及函数解析式的求法，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．