Question

（2009•湖北模拟）已知函数f(x)=

x

-ln(1+x)．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接根据偶次根号内数据大于等于0以及真数大于0即可得到结论；
（2）先求出其导函数，研究出其在定义域上的单调性即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由题意，得

x≥0 1+x＞0

…（2分）
解不等式组，得x≥0，故f（x）的定义域为{x|x≥0}．…（4分）
（2）f′(x)=

1

2 x

-

1

1+x

…（6分）
=

1+x-2 x

2 x (1+x)

=

( x -1)2

2 x (1+x)

．…（7分）
显然当x=1时，f'（x）=0；当x≠1时，f'（x）＞0．
故点x=1不是f（x）的极值点，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．…（10分）
又∵f（0）=0，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．…（12分）

点评：本题主要考查函数的定义域及其求法．求函数定义域一般会遇到下面几种情况：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．